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<!DOCTYPE html>

<title>Homomorphismus</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Homomorphismus</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Als Homomorphismus (von <a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a> ὁμός <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Latn{font-family:"Akzidenz Grotesk","Arial","Avant Garde Gothic","Calibri","Futura","Geneva","Gill Sans","Helvetica","Lucida Grande","Lucida Sans Unicode","Lucida Grande","Stone Sans","Tahoma","Trebuchet","Univers","Verdana"}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>homós „gleich“ und μορφή morphé „Form, Gestalt“; nicht zu verwechseln mit <a href="Hom%C3%B6omorphismus" title="Homöomorphismus">Homöomorphismus</a>) werden in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> <a href="Abbildung_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Abbildung (Mathematik)">Abbildungen</a> bezeichnet, die eine (oft algebraische) <a href="Mathematische_Struktur" title="Mathematische Struktur">mathematische Struktur</a> erhalten bzw. damit <a href="Vertr%C3%A4glichkeit_(Mathematik)" title="Verträglichkeit (Mathematik)">verträglich</a> (strukturtreu) sind. Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren <a href="Urbild_(Mathematik)" title="Urbild (Mathematik)">Urbilder</a> in der Struktur der Ausgangsmenge verhalten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Homomorphismen_algebraischer_Strukturen">Homomorphismen algebraischer Strukturen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(f_{i})_{i\in I})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(f_{i})_{i\in I})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17498a48f491772c44c0ef13e5d79cf53333e0c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.177ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(f_{i})_{i\in I})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(g_{i})_{i\in I})}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(g_{i})_{i\in I})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb6adca310d6ec3088a49a58b122b7ad6d70f3b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(g_{i})_{i\in I})}" loading="lazy"> zwei <a href="Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">algebraische Strukturen</a> vom gleichen Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma =(m_{i})_{i\in I},}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =(m_{i})_{i\in I},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5de6594c59fecdbf0ca42107f8d58de2aca81c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.449ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma =(m_{i})_{i\in I},}" loading="lazy"> so dass für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}\in \mathbb {N} _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}\in \mathbb {N} _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f97cfb016181c5cc5f46755d237781576eec8e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.413ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m_{i}\in \mathbb {N} _{0}}" loading="lazy"> die (übereinstimmende) <a href="Stelligkeit" title="Stelligkeit">Stelligkeit</a> der fundamentalen <a href="Verkn%C3%BCpfung_(Mathematik)" title="Verknüpfung (Mathematik)">Operationen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65da883ca3d16b461e46c94777b0d9c4aa010e79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ce36142a0a1c6660e82bdf3ef3f1551317efe0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.909ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{i}}" loading="lazy"> bezeichnet.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Eine Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61676cfcb7acc6bc6d6f13a228ffaaf0a879e8c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.675ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon A\to B}" loading="lazy"> heißt Homomorphismus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a8b5a6d1dbadead8b1dc48719c888e6cac5f861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {B}},}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {B}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda33605dc0d978c8f490b7aa4cfd51b35654816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.659ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {B}},}" loading="lazy"> wenn für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> und für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}\in A}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d24776b797f81c41d4223070c7fd26311bc2d72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}\in A}" loading="lazy"> gilt:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}))=g_{i}(\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{m_{i}}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02de7849ba15b65925035a6bb37ebe37a7147119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.537ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varphi (f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{m_{i}}))=g_{i}(\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{m_{i}}))}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

Klassisches Beispiel von Homomorphismen sind Homomorphismen zwischen <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppen</a>. Gegeben seien zwei Gruppen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,*)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,*)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e54a87abf331634c8962ef14c4c5ec41f94fd29c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.832ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,*)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H,\star ).}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\star ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a30bb69c2c6696a98a64c8562b0fa6d018e59a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H,\star ).}" loading="lazy"> Eine Funktion

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon G\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdbc9c98786f3c9adb53d5ea6c3b25cd461746f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon G\to H}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fed2caced34a1a8d895166a3a67a011c3351ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.028ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}" loading="lazy"> gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8d79dbe7d37dfc23976934e5b2faf636f92bcd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.372ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar, dass

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (e_{G})=e_{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a93f4221b753d5a92f483102752d36b0aaaa6bc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.676ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (e_{G})=e_{H}}" loading="lazy"></dd></dl>

für die <a href="Neutrales_Element" title="Neutrales Element">neutralen Elemente</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{G}\in G,e_{H}\in H}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{G}\in G,e_{H}\in H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d5acd3d158b547cfdc81e19584de52916d4cd36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.988ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e_{G}\in G,e_{H}\in H}" loading="lazy"> und dann

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f75d8499e2ca7083681cbc942daa0c846b9f381.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.388ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}" loading="lazy"> gelten muss sowie, mittels <a href="Vollst%C3%A4ndige_Induktion" title="Vollständige Induktion">vollständiger Induktion</a>, dass

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (g_{1}*\ldots *g_{n})=\phi (g_{1})\star \ldots \star \phi (g_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3135a175d8ceb020dc24e1d04bb89ea1b602585e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.89ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (g_{1}*\ldots *g_{n})=\phi (g_{1})\star \ldots \star \phi (g_{n})}" loading="lazy"></dd></dl>

für eine beliebige endliche Anzahl von Faktoren gilt.

An diesem Beispiel orientieren sich die Definitionen der Homomorphismen verschiedener algebraischer Strukturen:

<ul><li><a href="Gruppenhomomorphismus" title="Gruppenhomomorphismus">Gruppenhomomorphismus</a></li>

<li><a href="Ringhomomorphismus" title="Ringhomomorphismus">Ringhomomorphismus</a></li>

<li><a href="K%C3%B6rperhomomorphismus" title="Körperhomomorphismus">Körperhomomorphismus</a></li>

<li>Vektorraumhomomorphismus (<a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">Lineare Abbildung</a>)</li>

<li>Auswertungshomomorphismus der <a href="Termalgebra" title="Termalgebra">Termalgebra</a></li>

<li><a href="Modulhomomorphismus" title="Modulhomomorphismus">Modulhomomorphismus</a></li>

<li><a href="Algebra_(Struktur)#Algebrenhomomorphismen" class="mw-redirect" title="Algebra (Struktur)">Algebrenhomomorphismus</a></li>

<li><a href="Lie-Algebren-Homomorphismus" class="mw-redirect" title="Lie-Algebren-Homomorphismus">Lie-Algebren-Homomorphismus</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3></div>

Wir formulieren im Folgenden einige grundlegende Eigenschaften von Homomorphismen von Gruppen, die analog auch für die Homomorphismen der anderen algebraischen Strukturen gelten.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Komposition_von_Homomorphismen">Komposition von Homomorphismen</h4></div>

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon G\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon G\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdbc9c98786f3c9adb53d5ea6c3b25cd461746f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon G\to H}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \colon H\to J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \colon H\to J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f5fea292aebe4ff58f44a256b5f531e1270261b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.696ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi \colon H\to J}" loading="lazy"> Homomorphismen sind, dann ist auch die durch

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\psi \circ \phi )(g):=\psi (\phi (g))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/623163a64cfcf26193b886fe46619c6080acf284.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\psi \circ \phi )(g):=\psi (\phi (g))}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}" loading="lazy"></dd></dl>

definierte Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \circ \phi \colon G\to J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \circ \phi \colon G\to J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1da84196284eb7449feba3a9a3efa7d491f223b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.039ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi \circ \phi \colon G\to J}" loading="lazy"> ein Homomorphismus.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Untergruppen,_Bild,_Urbild,_Kern">Untergruppen, Bild, Urbild, Kern</h4></div>

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon G\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon G\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdbc9c98786f3c9adb53d5ea6c3b25cd461746f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon G\to H}" loading="lazy"> ein Homomorphismus ist, dann ist für jede <a href="Untergruppe" title="Untergruppe">Untergruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22932b2a2e0312a5c160ddd749762e825d9bb081.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.708ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq G}" loading="lazy"> auch

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (U):=\left\{\phi (g)\mid g\in U\right\},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/904ab8cfa26e8fa59a65d0845bc09a8d4a76920a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.069ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (U):=\left\{\phi (g)\mid g\in U\right\},}" loading="lazy"></dd></dl>

genannt das <a href="Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Bild</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> unter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy">, eine Untergruppe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">. Speziell wird die Untergruppe

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Bild} (\phi ):=\phi (G)\subseteq H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f2f6136daf03321e08f84464b677ef71f50ced4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Bild} (\phi ):=\phi (G)\subseteq H}" loading="lazy"></dd></dl>

als Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> bezeichnet. Weiterhin ist für jede Untergruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\subseteq H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\subseteq H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/183358eadafb771ef78f682bfa4feeb4b692f9fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.949ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\subseteq H}" loading="lazy"> auch

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{-1}[V]:=\phi ^{-1}(V):=\left\{g\in G\mid \phi (g)\in V\right\},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d40fa55b9b157f336a37ac871ed1d114c592c8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.622ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{-1}[V]:=\phi ^{-1}(V):=\left\{g\in G\mid \phi (g)\in V\right\},}" loading="lazy"></dd></dl>

genannt das <a href="Urbild_(Mathematik)" title="Urbild (Mathematik)">Urbild</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> unter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy">, eine Untergruppe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">. Das Urbild der trivialen Gruppe, d. i. die Untergruppe

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Kern} (\phi ):=\phi ^{-1}(e_{H}):=\phi ^{-1}[\{e_{H}\}]\subseteq G,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d53a47acd83f96b71189ca7618f80c265b591d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.716ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Kern} (\phi ):=\phi ^{-1}(e_{H}):=\phi ^{-1}[\{e_{H}\}]\subseteq G,}" loading="lazy"></dd></dl>

wird als <a href="Kern_(Algebra)" title="Kern (Algebra)">Kern</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> bezeichnet. Sie ist sogar ein <a href="Normalteiler" title="Normalteiler">Normalteiler</a>.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Isomorphismen">Isomorphismen</h4></div>

Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon G\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon G\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdbc9c98786f3c9adb53d5ea6c3b25cd461746f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon G\to H}" loading="lazy"> ein <a href="Bijektiv" class="mw-redirect" title="Bijektiv">bijektiver</a> Homomorphismus ist, dann ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{-1}\colon H\to G}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{-1}\colon H\to G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38c845b4d7139c901b154366cc8c3ed6a126f8aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.257ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{-1}\colon H\to G}" loading="lazy"> ein Homomorphismus. Man sagt in diesem Fall, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6f1ab5cdd86f42386994c06bb082264430eb9c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.718ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{-1}}" loading="lazy"> Isomorphismen sind.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Homomorphiesatz"><a href="Homomorphiesatz" title="Homomorphiesatz">Homomorphiesatz</a></h4></div>

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon G\to H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon G\to H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdbc9c98786f3c9adb53d5ea6c3b25cd461746f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon G\to H}" loading="lazy"> ein Homomorphismus ist, dann induziert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> einen Isomorphismus

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G/\operatorname {Kern} (\phi )\cong \operatorname {Bild} (\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0564e4fd533682ea0ebca28fd209bfae0716e8b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.141ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G/\operatorname {Kern} (\phi )\cong \operatorname {Bild} (\phi )}" loading="lazy"></dd></dl>

der <a href="Quotientengruppe" class="mw-redirect" title="Quotientengruppe">Quotientengruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G/\operatorname {Kern} (\phi )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G/\operatorname {Kern} (\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cac8ccd86dabb6f42099f71f77c6b9a447c8a2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.616ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G/\operatorname {Kern} (\phi )}" loading="lazy">

auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Bild} (\phi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Bild} (\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4a8892ce888cc7d6b1c4fcaac4409c6a8f8f791.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Bild} (\phi )}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Homomorphismen_relationaler_Strukturen">Homomorphismen relationaler Strukturen</h2></div>

Auch außerhalb der Algebra werden strukturerhaltende Abbildungen oft als Homomorphismen bezeichnet. Die meisten dieser Verwendungen des Begriffs Homomorphismus, einschließlich der oben aufgeführten algebraischen Strukturen, lassen sich unter der folgenden Definition subsumieren.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_2">Definition</h3></div>

Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(R_{i}))}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(R_{i}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d192e1a883a5c6d8b08fb03b2cf875434efd065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.077ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A,(R_{i}))}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(S_{i}))}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(S_{i}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4fb65c5170b75c7dcbe5c0e70dd92494f068c80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(B,(S_{i}))}" loading="lazy"> zwei <a href="Relationale_Struktur" class="mw-redirect" title="Relationale Struktur">relationale Strukturen</a> vom gleichen Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n_{i}),}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n_{i}),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a381973ee157fc01242077f7dd3772ffebc26f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.651ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n_{i}),}" loading="lazy"> sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17cc13c5962f46501fd1d792ac09ab2fd6f2527d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> die <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Stelligkeit der Relationen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db421291be9d0103404ced7495b363437b67b6b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de6e810a93f67802ecb603ee0e3324005c6e583e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{i}}" loading="lazy"> bezeichnet. Eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Abbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61676cfcb7acc6bc6d6f13a228ffaaf0a879e8c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.675ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon A\to B}" loading="lazy"> heißt dann eine homomorphe Abbildung, eine Homomorphie oder ein Homomorphismus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a8b5a6d1dbadead8b1dc48719c888e6cac5f861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {B}},}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {B}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda33605dc0d978c8f490b7aa4cfd51b35654816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.659ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {B}},}" loading="lazy"> wenn sie für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> und für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}\in A}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/378f416b8088de6cc19183c45180cf0c09e8f2c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}\in A}" loading="lazy"> die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Rightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cdaedb381791ee32c741168ec32d19b47b7902b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:46.079ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Rightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Schreibweise:

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon {\boldsymbol {A}}\to {\boldsymbol {B}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/466db7558f3e9e929156af5c67e5b2e4ebe0f5e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.847ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon {\boldsymbol {A}}\to {\boldsymbol {B}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Da jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A^{n}\to A}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A^{n}\to A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2bd83d39f824626e7eb4f0ce6b3244edf713ff9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.631ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon A^{n}\to A}" loading="lazy"> als Relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\subset A^{n+1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\subset A^{n+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd576a3dac2423246bd2ac15c2aa9166c8b2185e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.439ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\subset A^{n+1}}" loading="lazy"> beschrieben werden kann, lässt sich jede algebraische Struktur als relationale Struktur auffassen und die spezielle algebraische Definition ist somit in dieser Definition enthalten.

Hat man in obiger Definition bei einem injektiven Homomorphismus sogar die Äquivalenz

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Leftrightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c76f86fe08ce493c3c677484dd3af510a6c0b684.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:45.432ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Leftrightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}}" loading="lazy">,</dd></dl>

so spricht man von einem starken Homomorphismus.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_2">Beispiele</h3></div>

<ul><li>Homomorphismen algebraischer Strukturen (diese sind auch stets starke Homomorphismen)</li>

<li><a href="Ordnungshomomorphismus" class="mw-redirect" title="Ordnungshomomorphismus">Ordnungshomomorphismus</a></li>

<li><a href="Graph_(Graphentheorie)#Abbildungen_zwischen_Graphen" title="Graph (Graphentheorie)">Graphenhomomorphismus</a></li>

<li>Homomorphismen in der <a href="Inzidenzgeometrie" title="Inzidenzgeometrie">Inzidenzgeometrie</a>, zum Beispiel Homomorphismus projektiver Räume</li>

<li>Homomorphismus zwischen <a href="Modelltheorie#Grundbegriffe_der_Modelltheorie" title="Modelltheorie">Modellen</a><a href="#cite_note-7">[7]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

Auch Abbildungen, die verträglich sind mit Strukturen, die unendlichstellige Operationen besitzen, werden Homomorphismus genannt:

<ul><li>ein <a href="Verband_(Mathematik)#Homomorphismen" title="Verband (Mathematik)">vollständiger Verbandshomomorphismus</a> ist verträglich mit beliebigen (auch unendlichen) Vereinigungen und Durchschnitten</li></ul>

In einigen Teilgebieten der Mathematik beinhaltet der Begriff des Homomorphismus, dass die Verträglichkeit noch weitere Zusatzstrukturen umfasst:

<ul><li>ein <a href="Topologische_Gruppe#Eigenschaften" title="Topologische Gruppe">Homomorphismus topologischer Gruppen</a> ist ein <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetiger</a> <a href="Gruppenhomomorphismus" title="Gruppenhomomorphismus">Gruppenhomomorphismus</a></li>

<li>ein <a href="Lie-Gruppen-Homomorphismus" class="mw-redirect" title="Lie-Gruppen-Homomorphismus">Lie-Gruppen-Homomorphismus</a> ist ein <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">glatter</a> Gruppenhomomorphismus zwischen <a href="Lie-Gruppe" title="Lie-Gruppe">Lie-Gruppen</a><a href="#cite_note-8">[8]</a></li></ul>

Der Begriff erfährt auch eine Verallgemeinerung für heterogene Algebren, siehe <a href="Heterogene_Algebra#Homomorphismen" title="Heterogene Algebra">Heterogene Algebra: Homomorphismen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Morphismus" title="Morphismus">Morphismus</a> (<a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a>)</li>

<li><a href="Vertr%C3%A4glichkeit_(Mathematik)" title="Verträglichkeit (Mathematik)">Verträglichkeit (Mathematik)</a></li>

<li><a href="Epimorphismus" title="Epimorphismus">Epimorphismus</a></li>

<li><a href="Monomorphismus" title="Monomorphismus">Monomorphismus</a></li>

<li><a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a></li>

<li><a href="Einbettung_(Mathematik)" title="Einbettung (Mathematik)">Einbettung</a></li>

<li><a href="Endomorphismus" title="Endomorphismus">Endomorphismus</a></li>

<li><a href="Automorphismus" title="Automorphismus">Automorphismus</a></li>

<li><a href="Subquotient" title="Subquotient">Subquotient</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Serge Lang: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 211). 3., überarb. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.</li>

<li>Nathan Jacobson: Basic algebra. I. 2. Auflage. W. H. Freeman and Company, New York 1985, ISBN 0-7167-1480-9.</li>

<li>Thomas W. Hungerford: Algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 73). Springer-Verlag, New York / Berlin 1980, ISBN 0-387-90518-9. (Nachdruck der Ausgabe 1974)</li>

<li><a href="Garrett_Birkhoff" title="Garrett Birkhoff">Garrett Birkhoff</a>: <cite style="font-style:italic">Lattice Theory</cite>. 3. Auflage. AMS, Providence (RI) 1973, ISBN 0-8218-1025-1, S. 134–136.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homomorphismus&rft.au=Garrett+Birkhoff&rft.btitle=Lattice+Theory&rft.date=1973&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=0821810251&rft.pages=134-136&rft.place=Providence+%28RI%29&rft.pub=AMS" style="display:none"> </li>

<li>Marcel Erné: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Ordnungstheorie</cite>. Bibliographisches Institut, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01638-8, S. 112–113.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homomorphismus&rft.au=Marcel+Ern%C3%A9&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Ordnungstheorie&rft.date=1982&rft.genre=book&rft.isbn=3411016388&rft.pages=112-113&rft.place=Mannheim%2FWien%2FZ%C3%BCrich&rft.pub=Bibliographisches+Institut" style="display:none"> </li>

<li><a href="Helmuth_Gericke" title="Helmuth Gericke">Helmuth Gericke</a>: <cite style="font-style:italic">Theorie der Verbände</cite>. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963, S. 55–62, 147.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homomorphismus&rft.au=Helmuth+Gericke&rft.btitle=Theorie+der+Verb%C3%A4nde&rft.date=1963&rft.genre=book&rft.pages=55-62%2C+147&rft.place=Mannheim&rft.pub=Bibliographisches+Institut" style="display:none"> </li>

<li>George Grätzer: <cite style="font-style:italic">Universal Algebra</cite>. 2., aktualisierte Auflage. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-77486-2, S. 223–224, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-0-387-77487-9">10.1007/978-0-387-77487-9</a> (Erstausgabe: 1979).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homomorphismus&rft.au=George+Gr%C3%A4tzer&rft.btitle=Universal+Algebra&rft.date=2008&rft.doi=10.1007%2F978-0-387-77487-9&rft.edition=2.%2C+aktualisierte&rft.genre=book&rft.isbn=9780387774862&rft.pages=223-224&rft.place=New+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein: <cite style="font-style:italic">Relationen und Graphen</cite>. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-50304-8, S. 144–153.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homomorphismus&rft.au=Gunther+Schmidt%2C+Thomas+Str%C3%B6hlein&rft.btitle=Relationen+und+Graphen&rft.date=1989&rft.genre=book&rft.isbn=3540503048&rft.pages=144-153&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>: <cite style="font-style:italic">Algebra I</cite> (= <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher</cite>. Band 12). 8. Auflage. Band 1: <a href="Moderne_Algebra" title="Moderne Algebra">Moderne Algebra</a>. Springer, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-03561-3, S. 27–30.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homomorphismus&rft.au=Bartel+Leendert+van+der+Waerden&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1971&rft.edition=8&rft.genre=book&rft.isbn=3540035613&rft.pages=27-30&rft.place=Berlin+%2F+G%C3%B6ttingen+%2F+Heidelberg+%2F+New+York&rft.pub=Springer&rft.series=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher&rft.volume=Band+1%3A+Moderne+Algebra" style="display:none"> </li>

<li>Heinrich Werner: <cite style="font-style:italic">Einführung in die allgemeine Algebra</cite>. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8, S. 48, 19.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homomorphismus&rft.au=Heinrich+Werner&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+allgemeine+Algebra&rft.date=1978&rft.genre=book&rft.isbn=3411001208&rft.pages=48%2C+19&rft.place=Mannheim&rft.pub=Bibliographisches+Institut" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Homomorphismus" class="extiw external" title="wikt:Homomorphismus">Wiktionary: Homomorphismus</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">-stellige Operation ist eine spezielle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6f7ed29a2b4a62d3b6af05cd91a58ffc6094201.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.043ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m+1}" loading="lazy">-stellige homogene <a href="Relation_(Mathematik)#Eigenschaften_zweistelliger_Relationen" title="Relation (Mathematik)">Relation</a> (Funktion).

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Diese Definition ist mit der unten gegebenen verträglich, wenn man von einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65da883ca3d16b461e46c94777b0d9c4aa010e79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{i}}" loading="lazy"> zur Relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db421291be9d0103404ced7495b363437b67b6b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}}" loading="lazy">, die durch den <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Funktionsgraph</a> gegeben ist, übergeht, denn dann gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{m_{i}})=a\Leftrightarrow (a_{1},\ldots ,a_{m_{i}},a)\in R_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67c2181faeb1787944a06101f0ac128958e25d8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:43.152ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{m_{i}})=a\Leftrightarrow (a_{1},\ldots ,a_{m_{i}},a)\in R_{i}}" loading="lazy">,</dd></dl>

und genauso für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (B,(g_{i}))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (B,(g_{i}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12dbf2f9dad25ae7c9239f06d3bddefa39cca9a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.325ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (B,(g_{i}))}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Die Urbildfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6f1ab5cdd86f42386994c06bb082264430eb9c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.718ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{-1}}" loading="lazy">, die auf Mengen operiert, und die inverse Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6f1ab5cdd86f42386994c06bb082264430eb9c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.718ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{-1}}" loading="lazy">, die auf Elementen operiert, sind streng genommen 2 verschiedene Funktionen. Sind Missverständnisse zu befürchten, dann setzt man im ersteren Fall die Mengen in eckige Klammern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\;]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\;]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47e011f5d24ee27d9223816cc69be5e8a51a5a9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.939ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\;]}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Eine allgemeine Definition wurde im klassischen Lehrbuch <a href="Moderne_Algebra" title="Moderne Algebra">Moderne Algebra</a> angegeben: „Wenn in zwei Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3f96ea04db56741bbd5dc610098968f3a7a9c00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {N}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {N}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed1e6edab00ec96eebef484420f72cb50fe95916.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.934ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {N}}}" loading="lazy"> gewisse Relationen (wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<b}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/490ee6739f42a597d4e4c7fc59d37fe9681f05ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.333ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=c}" loading="lazy">) definiert sind und wenn jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3f96ea04db56741bbd5dc610098968f3a7a9c00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}" loading="lazy"> ein Bildelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {a}}=\varphi a}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {a}}=\varphi a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be234248f4225133981227760b377592cfa83d24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.078ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\bar {a}}=\varphi a}" loading="lazy"> so zugeordnet ist, daß alle Relationen zwischen Elementen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3f96ea04db56741bbd5dc610098968f3a7a9c00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}" loading="lazy"> auch für die Bildelemente gelten (so daß z. B. aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<b}" loading="lazy"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {a}}<{\bar {b}},}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {a}}<{\bar {b}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de7a2406d13345a540150bbe939f744361d294fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.138ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\bar {a}}<{\bar {b}},}" loading="lazy"> wenn es sich um die Relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle <}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle <}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33737c89a17785dacc8638b4d66db3d5c8670de1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle <}" loading="lazy"> handelt), so heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> eine homomorphe Abbildung oder ein Homomorphismus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3f96ea04db56741bbd5dc610098968f3a7a9c00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {M}}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {N}}.}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {N}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71ee4b03dfb91246c76f0bc0ed8e46dcf9f9a62f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.58ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {N}}.}" loading="lazy">“ (B. L. van der Waerden: Algebra. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). Teil I, Siebte Auflage. Springer-Verlag, Berlin / New York 1966 (Einleitung zu Paragraph 10))

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Manche Autoren (<a href="Wilhelm_Klingenberg_(Mathematiker)" title="Wilhelm Klingenberg (Mathematiker)">Wilhelm Klingenberg</a>: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin / Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1, S. 7.; Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 1973, S. 134.) nennen einen Homomorphismus auch nur kurz „Morphismus“, während andere (Fritz Reinhardt, Heinrich Sonder: dtv-Atlas Mathematik. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 9. Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1991, ISBN 3-423-03007-0, S. 36–37.) jede strukturverträgliche Abbildung „Morphismus“ nennen und nur einen Homomorphismus von algebraischen Strukturen als „Homomorphismus“ bezeichnen.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 3-86025-461-8, Abschnitt 1.3 Homomorphismen. S. 20.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. 3., vollst. überarb. u. erw. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1992, ISBN 3-411-15603-1, S. 225.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Jeder stetige Gruppenhomomorphismus zwischen Lie-Gruppen ist glatt.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4160602-4">4160602-4</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-03-09" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Homomorphismus&oldid=254030385">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

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</body></html>